Lieux et forme algébrique - Corrigé

Énoncé

On se place dans le plan complexe. Pour tout $z\in \mathbb{C}$ , on note $Z=z^2+2z+1$ .

1. Déterminer l'ensemble ${\mathcal{E}}_1$ des points $\text{M}(z)$ tels que $Z$ soit réel pur.

2. Déterminer l'ensemble ${\mathcal{E}}_2$ des points $\text{M}(z)$ tels que $Z$ soit imaginaire pur.

Solution

On pose $z=x+iy$ avec $x\in \mathbb{R}$ et $y\in \mathbb{R}$ .
On a : $Z=z^2+2z+1=(x+iy{)}^2+2(x+iy)+1=x^2+2ixy-y^2+2x+2iy+1$
​Donc $Z=x^2-y^2+2x+1+i(2xy+2y)$

1. Donc,
$\begin{array}{rl}Z\in \mathbb{R}& ⟺2xy+2y=0\\ & ⟺2y(x+1)=0\\ & ⟺2y=0\text{ ou }x+1=0\\ & ⟺y=0\text{ ou }x=-1\end{array}$
l’ensemble ${\mathcal{E}}_1$ est la réunion des droites d’équations $y=0$ et $x=-1$ .
D’un point de vue algébrique, ${\mathcal{E}}_1=\{z\in \mathbb{C}/\text{I}\text{m}(z)=0\}\cup \{z\in \mathbb{C}/\text{R}\text{e}(z)=-1\}$ .

2. On a aussi
$\begin{array}{rl}Z\in i\mathbb{R}& ⟺x^2-y^2+2x+1=0\\ & ⟺(x+1{)}^2-y^2=0\\ & ⟺(x+1{)}^2=y^2\\ & ⟺y=x+1\text{ ou }y=-x-1\end{array}$
l’ensemble ${\mathcal{E}}_2$ est la réunion des droites d’équations  $y=x+1$  et  $y=-x-1$ .